Spezialisierung für Integralberechnung durch Daten und Modellierung

In diesem Kurs bauen wir auf den zuvor definierten Begriffen des Integrals einer Funktion mit einer einzigen Variablen über ein Intervall auf. Jetzt werden wir unser Verständnis von Integralen erweitern, um mit Funktionen von mehr als einer Variablen zu arbeiten. Zunächst werden wir lernen, wie man eine reellwertige mehrvariable Funktion über verschiedene Regionen in der Ebene integriert. Dann werden wir Vektor-Funktionen einführen, die einen Punkt einem Vektor zuordnen. Dies wird uns auf unseren letzten Kurs in der Spezialisierung auf Vektorrechnung vorbereiten. Schließlich werden wir Techniken zur Annäherung definitiver Integrale bei der Arbeit mit diskreten Daten einführen und diese Techniken im Rahmen eines von Experten begutachteten Projekts auf reale Probleme anwenden.

Dieser Kurs setzt Ihr Studium der Infinitesimalrechnung fort und konzentriert sich auf die Anwendungen der Integration. Die Anwendungen in diesem Abschnitt haben viele gemeinsame Merkmale. Erstens ist jede ein Beispiel für eine Größe, die durch Auswertung eines bestimmten Integrals berechnet wird. Zweitens ist die Formel für diese Anwendung von Riemannschen Summen abgeleitet.

Anstatt Veränderungsraten zu messen, wie wir es in der Differentialrechnung getan haben, erlaubt uns das definite Integral, die Akkumulation einer Größe über ein Intervall von Eingabewerten zu messen. Dieser Begriff der Akkumulation kann auf verschiedene Größen angewandt werden, darunter Geld, Bevölkerung, Gewicht, Fläche, Volumen und Luftschadstoffe. Die Konzepte in diesem Kurs lassen sich auf viele andere Disziplinen außerhalb der traditionellen Mathematik anwenden. Wir werden den Begriff des Durchschnittswerts eines Datensatzes erweitern, um unendliche Werte zu berücksichtigen, die Formel für Bogenlänge und Krümmung entwickeln und Formeln für Geschwindigkeit, Beschleunigung und Flächen zwischen Kurven ableiten. Anhand von Beispielen und Projekten werden wir die Werkzeuge dieses Kurses anwenden, um Daten aus der realen Welt zu analysieren und zu modellieren.

Dieser Kurs setzt Ihr Studium der Infinitesimalrechnung fort und konzentriert sich auf die Anwendung der Integration auf vektorwertige Funktionen oder Vektorfelder. Dabei handelt es sich um Funktionen, die Punkten im Raum Vektoren zuordnen. Dies ermöglicht es uns, fortgeschrittene Theorien zu entwickeln, die wir dann auf reale Probleme anwenden können. Wir definieren Linienintegrale, die verwendet werden können, um die von einem Vektorfeld geleistete Arbeit zu berechnen. Wir schließen diesen Kurs mit dem Satz von Green ab, der die Beziehung zwischen bestimmten Arten von Linienintegralen auf geschlossenen Pfaden und Doppelintegralen beschreibt. Im diskreten Fall wird dieses Theorem als Shoelace-Theorem bezeichnet und ermöglicht es uns, die Flächen von Polygonen zu messen. Wir verwenden diese Version des Theorems, um in einem von Experten begutachteten Projekt weitere Werkzeuge zur Datenanalyse zu entwickeln. Nach erfolgreichem Abschluss dieses Kurses verfügen Sie über alle Werkzeuge, die Sie benötigen, um jede fortgeschrittene Mathematik, Informatik oder Datenwissenschaft zu beherrschen, die auf den Grundlagen der ein- oder mehrdimensionalen Infinitesimalrechnung aufbaut.